Die innere Geometrie der metrischen Räume

La geometria interna di una superficie è lo studio delle proprietà che rimangono inalterate sotto le applicazioni isometriche, quindi dipendono solo dalla loro prima forma fondamentale. Fu C. F. Gauss a fondare questa disciplina con la scoperta che il prodotto dei raggi di curvatura principali di una superficie è un'invariante isometrica. B. Riemann estese questa teoria nella sua tesi di abilitazione a varietà multidimensionali e quindi a varietà astratte. Inizialmente si considerava solo lo studio di tali varietà il cui elemento d'arco è dato dalla radice quadrata di una forma differenziale quadratica, ma P. Finsler sviluppò nella sua dissertazione la geometria interna sulla base di un elemento d'arco generale, un'opzione già riconosciuta da B. Riemann. Dalle indagini classiche di J. Hadamard sulle superfici a curvatura negativa costante e di D. Hilbert sull'esistenza di estremali nei problemi di variazione, si affermò sempre di più la consapevolezza che gran parte dei metodi, in particolare quelli sviluppati nella geometria differenziale in grande, richiedono solo la struttura topologica e metrica delle varietà, ma non la loro struttura di differenziabilità. Il concetto di spazio metrico creato da Fréchet ha reso possibile fondare la geometria interna su una base priva di requisiti di differenziabilità. Tuttavia, inizialmente l'interesse era focalizzato sulla topologia degli spazi metrici. Solo con K. Menger iniziò uno studio sistematico delle invarianti isometriche. Nel frattempo è emersa una vasta letteratura. I risultati principali sono raccolti nei tre libri di A. D. Alexandrow, L. M. Blumenthal e H.