Galois Theories of Fields and Rings

Ce manuel est issu d'un cours de master dispensé par l'auteur à l'université de Coimbra. Il emmène le lecteur du théorème de Galois très classique pour les champs à sa généralisation au cas des anneaux. Given a finite-dimensional Galois extension of fields, the classical bijection between the intermediate field extensions and the subgroups of the corresponding Galois group was extended by Grothendieck as an equivalence between finite-dimensional split algebras and finite sets on which the Galois group acts. En ajoutant d'autres topologies profinites sur le groupe de Galois et les ensembles sur lesquels il agit, ces deux théorèmes deviennent valides en dimension arbitraire. Profitant de la puissance de la théorie des catégories, la deuxième partie du livre généralise ce théorème de Galois le plus général pour les champs au cas des anneaux commutatifs. Ce livre devrait intéresser les théoriciens des champs et les théoriciens des anneaux qui souhaitent découvrir de nouvelles techniques qui permettent de libérer la théorie de Galois de son contexte traditionnel restreint de la théorie des champs. Il devrait également être d'un grand intérêt pour les théoriciens de la catégorie qui souhaitent appliquer leurs techniques quotidiennes pour produire des résultats profonds dans d'autres domaines des mathématiques.