Die innere Geometrie der metrischen Räume

La géométrie intérieure d'une surface est l'étude des propriétés qui restent inchangées lors des transformations isométriques, dépendant donc uniquement de leur première forme fondamentale. Elle a été fondée par C. F. Gauss grâce à la découverte que le produit des rayons de courbure principaux d'une surface est une invariant isométrique. B. Riemann a étendu cette théorie dans sa thèse d'habilitation aux variétés multidimensionnelles et donc abstraites. Alors qu'on se concentrait initialement sur l'étude de telles variétés dont l'élément d'arc est donné par la racine carrée d'une forme différentielle quadratique, P. Finsler a développé dans sa dissertation la géométrie intérieure sur la base d'un élément d'arc général, une possibilité déjà reconnue par B. Riemann. Depuis les recherches classiques de J. Hadamard sur les surfaces à courbure négative constante et de D. Hilbert sur l'existence d'extrémaux dans les problèmes de variation, la compréhension s'est progressivement imposée que beaucoup de méthodes, en particulier celles développées en géométrie différentielle au sens large, ne nécessitent que la structure topologique et métrique des variétés, mais pas leur structure de différentiabilité. Le concept d'espace métrique créé par Fréchet a permis de fonder la géométrie intérieure sur une base sans conditions de différentiabilité. Cependant, au début, la topologie des espaces métriques était au centre de l'intérêt. Ce n'est qu'avec K. Menger qu'une étude systématique des invariants isométriques a commencé. Entre-temps, une vaste littérature s'est développée. Les principaux résultats se trouvent dans les trois livres d'A. D. Alexandrow, L. M. Blumenthal et H.