Differentialgeometrie von Kurven und Flächen

Es gibt in der Differentialgeometrie von Kurven und Flächen zwei Betrachtungsweisen. Die eine, die man klassische Differentialgeometrie nennen könnte, entstand zusammen mit den Anfängen der Differential- und Integralrechnung. Grob gesagt studiert die klassische Differentialgeometrie lokale Eigenschaften von Kurven und Flächen. Dabei verstehen wir unter lokalen Eigenschaften solche, die nur vom Verhalten der Kurve oder Fläche in der Umgebung eines Punktes abhängen. Die Methoden, die sich als für das Studium solcher Eigenschaften geeignet erwiesen haben, sind die Methoden der Differentialrechnung. Aus diesem Grund sind die in der Differentialgeometrie untersuchten Kurven und Flächen durch Funktionen definiert, die von einer gewissen Differenzierbarkeitsklasse sind. Die andere Betrachtungsweise ist die sogenannte globale Differentialgeometrie. Hierbei untersucht man den Einfluss lokaler Eigenschaften auf das Verhalten der gesamten Kurve oder Fläche. Der interessanteste und repräsentativste Teil der klassischen Differentialgeometrie ist wohl die Untersuchung von Flächen. Beim Studium von Flächen treten jedoch in natürlicher Weise einige lokale Eigenschaften von Kurven auf. Deshalb benutzen wir dieses erste Kapitel, um kurz auf Kurven einzugehen.