Die innere Geometrie der metrischen Räume

Die innere Geometrie einer Fläche ist die Lehre von denjenigen Eigenschaften, die bei isometrischen Abbildungen ungeändert bleiben, also nur von ihrer ersten Fundamentalform abhängen. Sie wurde von C. F. Gauss durch die Entdeckung begründet, dass das Produkt der Hauptkrümmungsradien einer Fläche eine isometrische Invariante ist. B. Riemann dehnte diese Theorie in seiner Habilitationsschrift auf mehrdimensionale und damit gleichzeitig auf abstrakte Mannigfaltigkeiten aus. Während man zunächst nur das Studium solcher Mannigfaltigkeiten in Betracht zog, deren Bogenelement durch die Quadratwurzel aus einer quadratischen Differentialform gegeben ist, entwickelte P. Finsler in seiner Dissertation die innere Geometrie auf der Grundlage eines allgemeinen Bogenelementes, eine Möglichkeit, die bereits B. Riemann erkannt hatte. Seit den klassischen Untersuchungen von J. Hadamard über Flächen konstanter negativer Krümmung und von D. Hilbert über die Existenz von Extremalen bei Variationsproblemen setzte sich die Erkenntnis immer mehr durch, dass ein grosser Teil der Methoden, insbesondere diejenigen, welche in der Differentialgeometrie im Grossen entwickelt worden sind, nur die topologische und metrische Struktur der Mannigfaltigkeiten, nicht aber ihre Differenzierbarkeitsstruktur benötigen. Der von Fréchet geschaffene Begriff des metrischen Raumes ermöglichte es, die innere Geometrie auf einer von Differenzierbarkeitsvoraussetzungen freien Grundlage zu stellen. Zunächst stand jedoch die Topologie der metrischen Räume im Vordergrund des Interesses. Erst mit K. Menger setzte ein systematisches Studium der isometrischen Invarianten ein. Inzwischen ist eine umfangreiche Literatur entstanden. Die Hauptergebnisse sind in den drei Büchern von A. D. Alexandrow, L. M. Blumenthal und H.